(?E_s)/?t=(i??_e)/(2nc?_0 ) ??E?_p (4-17)
-(?E_p)/?z+l/(c/n) (?E_p)/?t=(i??_e)/(2nc?_0 ) ??^* E?_s (4-18)
در اين روابط ما فرض كرده ايم كه ?=?_s??_p و همچنين ? توزيع چگالي محيط مي باشد كه توسط معادله موج آكوستيك (4-3) به صورت زير توصيف مي شود:
(?^2 ? ?)/??t?^2 -?^’ ?^2 (??? ?)/?t-v^2 ?^2 ? ?=?.f (4-19)
جمله سمت راست معادله (4-19) ديورژانس نيروي وارد بر واحد حجم محيط را بيان مي كند. اين نيرو توسط ميدان هاي نوري تابيده شده بر محيط ايجاد مي شود كه توسط پديده Electrostriction توصيف مي شود. مقدار ديورژانس اين نيرو توسط رابطه زير بيان مي شود [19]:
?.f=?_0 ?_e q^2 [E_s E_p^* e^i[qz-?t] +c.c] (4-20)
حال باجايگذاري رابطه (4-16) و (4-20) در رابطه (4-19) و با فرض اينكه تغييرات دامنه در حوزه زمان و مكان خيلي آهسته باشد و همچنين فرض داشتن حالت پايدار نتيجه زير را بدست مي آوريم [19]:
?(z,t)=?_0 ?_e q^2 (E_s E_p^*)/(?_B^2-?^2-?i????_B ) (4-21)
در اين رابطه ?_B=qv مي باشد. و ????_B را پهناي باند بريلوين مي ناميم و به صورت زير تعريف مي شود:
????_B=q^2 ?^’ (3-22)

حال با فرض داشتان حالت پايدار، در معادلات (4-17) و (4-18) مشتق اول نسبت به زمان حذف شده و با قرار دادن رابطه (4-21) در اين دو رابطه خواهيم داشت:
??E?_s/?z=(?i??_0 ??q?^2 ?_e^2)/(2nc?_0 ) (|E_p |^2 E_s)/(?_B^2-?^2-?i????_B ) (4-23)
??E?_p/?z=-(?i??_0 ??q?^2 ?_e^2)/(2nc?_0 ) (|E_s |^2 E_p)/(?_B^2-?^2+?i????_B ) (4-24)
با فرض ?_B+??2?_B مي توانيم روابط (4-23) و (4-24) را به صورت ساده تر بيان كنيم:
??E?_s/?z=-(g_B P_p)/(2A_eff ) (?K_eR-?i?K?_el ) E_s (4-25)
??E?_p/?z=-(g_B P_s)/(2A_eff ) (?K_eR+?i?K?_el ) E_p (4-26)
در اينجا g_B=(??q?^2 ?_e^2)/(2n^2 c^2 ?_0 ?????_B ) كه به آن ضريب تقويت بريلوين برانگيخته51 مي گويند و توان پمپ و موج استوكس به صورت P_i=?2nc??_0 A_eff |E_i |^2 تعريف مي شوند. ?K_eR و ??K?_el مولفه هاي تطبيق نشده فاز مي باشند كه ?K_eR طيف بهره و ??K?_el طيف فاز پديده SBS را توصيف مي كنند.
??K?_eR=1/(1+4((?_B-?)/????_B )^2 ) (4-27)
??K?_el=2 (((?_B-?)/????_B ))/(1+4((?_B-?)/????_B )^2 ) (4-28)
ما تمام روابط بالا را براي يك پمپ تك فركانس با صرف نظر كردن از تلفات فيبر بدست آورديم. حال اگر فرض كنيم كه پمپ تك فركانس نباشد تمام روابط بالا بدون تغيير مي مانند جز مولفه هاي تطبيق نشده فاز ??K?_el و ??K?_eR كه براي پمپ ورودي جديد به صورت زير تعريف مي شوند [11]:
g(?)=g_0 (?)?P_p (?_p ) (4-29)
g(?)=??K?_eR+i?K_el (4-30)

حال اگر فرض كنيم كه طيف توان پمپ گوسي شكل باشد با پهناي باند ??_p كه طيف آن به صورت زير تعريف شده باشد:
P_p (?_p )=P_0/(?? ??_p ) exp[-((?_p-?_p0)/(??_p ))^2 ] (4-31)
با قرار دادن رابطه (4-31) در رابطه (4-29) رابطه زير را بدست مي آوريم [11]:
g(?)=P_0 ?? ?W(?+i?) (4-32)
در اين رابطه W(?+i?) تابع خطا مختلط52 مي باشد [57]، ?=(?+?_B-?_p0 )/??_p و ?=????_B/?2???_p .
اگر فرض كنيم كه پهناي باند پمپ ورودي خيلي بزرگتر از پهناي باند بريلوين باشد، يعني داشته باشيم ??1. با اين فرض مي توانيم رابطه (4-32) را تقريب زده و به صورت ساده تر بنويسيم:
g(?)=P_0 ?? ?exp(-?^2 )erfc(-i?) (4-33)
در اينجا erfc(-i?) تابع خطا متمم53 مي باشد [57] كه با استفاده از جدا كردن قسمت حقيقي و موهومي آن و با توجه به رابطه (4-30) مي توانيم ??K?_eR و ??K?_el جديد را بدست آوريم:
??K?_eR=?? ?exp(?-??^2 ) (4-34)
??K?_el=-i?? ?exp(?-??^2 )erf(i?) (4-35)
پهناي باند طيف بهره بريلوين در اين حالت برابر ??=2?ln2 ??_p مي باشد [11].

4-5- توان آستانه بريلوين و ضريب تقويت بريلوين

پراكندگي بريلوين برانگيخته در يك مقدار كوچكي از توان پمپ اتفاق مي افتد كه به اين مقدار، توان آستانه گفته مي شود. در شبكه هاي نوري و براي كنترل سيستم ها براساس پراكندگي بريلوين دانستن اين توان آستانه ضروري مي باشد. اگر توان پمپ بيشتر از مقدار اين آستانه باشد يك رشد نمايي در موج استوكس توسط نويز داخل فيبر بوجود مي آيد. پراكندگي بريلوين به اشباع مي رسد كه در آن توان پمپ كاهش مي يابد و توان عبوري آن از فيبر محدود مي شود. براي رخ دادن اين پديده در يك فيبر چند ده كيلومتري كافي است توان پمپ در حد چند ميلي وات باشد. زير مقدار توان آستانه، فرايند پراكندگي بريلوين برانگيخته فقط يك ناحيه تقويت استوكس و يك ناحيه تضعيف آنتي استوكس براي موج سيگنال انتشار يافته در جهت مخالف ايجاد مي كند.
مقدار توان آستانه پراكندگي بريلوين برانگيخته مي تواند توسط بيشينه توان ورودي پمپ كه قبل از آن اثر پراكندگي بريلوين قابل ملاحظه نبوده است مشخص شود. يعني تواني از پمپ كه بعد از آن توان موج استوكس بشدت شروع به افزايش مي كند و توان عبوري پمپ از فيبر شروع به كاهش مي كند. توان آستانه بريلوين P_p^th معمولا با استفاده از رابطه زير محاسبه ميشود [8]:
P_p^th=19 (K_B A_eff)/(g_Bmax L_eff ) (4-36)
A_eff و L_eff به ترتيب ناحيه و طول موثر فيبر مي باشند، K_B فاكتور پلاريزاسيون، g_Bmax بيشترين مقدار ضريب تقويت بريلوين مي باشند.
فاكتور پلاريزاسيون K_B مقداري بين 1 و 2 دارد و مقدار دقيق آن به رابطه بين پلاريزاسيون پمپ و موج استوكس يا موج سيگنال منتشر شده در جهت خلاف پمپ وابسته مي باشد. براي داشتن يك برهم كنش بهينه بين پمپ و موج استوكس، هر دو موج بايد در تمام طول فيبر هم پلاريزاسيون باشند، در اين حالت K_B كمترين مقدار خود را دارد كه اين مقدار براي فيبرهايي كه پلاريزاسيون در آنها ثابت مي ماند54، معتبر مي‌باشد. ولي در فيبرهاي معمولي مانند فيبرهاي تك مد استاندارد55 حالت پلاريزاسيون هر دو موج منتشر شده در جهت خلاف هم در نقاط مختلف فيبر متفاوت مي باشد. به همين خاطر قدرت برهم كنش آنها كاهش مي يابد و مقدار K_B=2 به عنوان ضريب پلاريزاسيون براي آنها استفاده مي شود [59].

طول موثر فيبر (L_eff ) وابسته به طول فيبر (L) و ضريب تلفات فيبر (?) مي باشد و با رابطه زير بيان مي‌شود [9]:
L_eff=(l-e^(-?L))/? (4-37)
اگر از حالت پلاريزاسيون بين دو موج استوكس و پمپ صرف نظر كنيم، بيشترين مقدار ضريب تقويت بريلوين g_Bmax بيشترين مقدار طيف تقويت بريلوين در فركانس f_p-f_B ميباشد [51]. ضريب تقويت بريلوين به خواص مختلف مواد فيبر وابسته است كه اين وابستگي با ضريب M256 بيان مي شود. بيشترين ضريب تقويت پراكندگي بريلوين برانگيخته توسط رابطه زير بيان مي شود [26]:
g_Bmax=(?f_B^2 M_2)/(c?f_B 2n) (4-38)
در اينجا f_B فركانس بريلوين، ?f_B پهناي باند بريلوين (FWHM) ميباشند، مقدار g_Bmax براي فيبر نوري تك مد استاندارد در طول موج 1550 نانومتر پمپ، بين m/W 11-10×5-11-10×1 قرار دارد. در عمل خواص مواد فيبر غالبا توسط توليدكنندگان همراه با فيبر داده نمي شود از اينرو مقدار دقيق M2 مجهول مي باشد، بنابراين مي توانيم g_Bmax را با اندازه گيري مقدار توان آستانه بريلوين و استفاده از رابطه (4-36) بدست آوريم.
در عمل براي استفاده از g_Bmax از رابطه بين پلاريزاسيون موج استوكس و پمپ نمي توانيم صرف نظر كنيم. از اينرو اگر حالت هاي پلاريزاسيون هر دو موج به طور كامل با هم منطبق نباشند g_Bmax توسط ضريب K_B كاهش مي يابد درنتيجه در اين حالت مقدار توان آستانه بريلوين افزايش مي يابد. مي توانيم ضريب تقويت بريلوين وابسته به پلاريزاسيون g_B را با استفاده از رابطه زير بدست آوريم [26]:
g_B=g_Bmax/K_B (4-39)

4-6- خلاصه فصل

براي اينكه بتوانيم پديده SBS آبشاري را در فيبرهاي نوري بررسي کنيم نياز به شناخت كامل SBS در فيبر نوري داشتيم به همين دليل در اين فصل ابتدا اين اثر غيرخطي را به طور كامل توصيف و تمام جزئيات مورد نياز آن را معرفي كرديم. همانطور كه گفته شد دو نوع اثر غيرخطي پراكندگي بريلوين داريم،‌پراكندگي بريلوين خود برانگيخته و پراكندگي بريلوين برانگيخته شده (SBS) . براي شناخت كامل و بهتر اثر غيرخطي SBS ما ابتدا در قسمت سوم اين فصل اثر غيرخطي پراكندگي بريلوين خودبرانگيخته را بررسي كرديم و معادله ديفرانسيل توصيف كننده آن را بدست آورديم. سپس در بخش چهارم به بررسي اثر غيرخطي SBS پرداختيم و معادلات ديفرانسيل توصيف كننده آن را بدست آورديم و دو مشخصه خيلي مهم SBS، طيف بهره و طيف فاز، را معرفي كرديم. همچنين براي يک فيبر نوري توان آستانه بريلوئن و ضريب تقويت بريلوئن را بدست آورديم. در فصل بعدي با استفاده از معادلات شدتهاي موج پمپ و موج استوکس که در فصل دوم بدست آورديم و همچنين تغيير در ساختار فيبر، پديده SBS آبشاري را در فيبر نوري بررسي مي کنيم در ضمن با حل معادلاتي که در اين فصل بدست آورديم اثر SBS آبشاري را بر سيگنال بررسي خواهيم کرد.

فصل پنجم

پراکندگي بريلوئن بر انگيخته آبشاري در فيبر نوري

5-1- مقدمه

همانطوريکه در فصل گذشته بررسي شد، SBS در فيبر نوري در چند ميلي وات از توان پمپ رخ مي دهد . طرح ساده براي مطالعه SBS در فيبرهاي نوري ، استفاده از يک فيبر نوري بلند معمولا در حد کيلومتر با يک انتهاي مناسب مي باشد که در انتهاي اين فيبر نوري از هر گونه بازخوردي اجتناب مي شود. وقتيکه بازخورد به فيبر نوري در

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید